医院理念を作られること、とてもいいと思います！
メディカでも、メンバーを募集するようになったときから、思いを言語化するようにしていますよ。

一般的にクリニックの採用は、条件だけで行われることが多いです。
そうすると求職者さんは、①家からの距離、②給料、③勤務時間だけで、職場を選びます。

これら条件で選んだ場合、クリニックに特段の思い入れもないので、仕事のやりがいを感じにくかったり、条件のよい外の職場に転職しやすかったりします。

ですので、私は①なぜ先生が開業したのか　②クリニックで実現したいことはなにか　ということを、言葉にして伝えることは大切だと思います。

その副産物として、先生の「思考の軸」「判断の軸」を共有できることで、スタッフさん自身が考えて行動できるようにもなるはずです。

また、もう一点ご質問のあった、「患者さん向け理念」「スタッフさん向け理念」は違っていてもいいです。
言っていることの根本は当然、同じであるべきですが、それぞれに伝わりやすい・響きやすいように言葉を変えるのは、必要なことだからです。