Twitterのフォロワーを増やす基本は、相互コミュニケーションです。
フォローされるのを待っていてもなかなか増えないのがTwitterです…。

プロフィール欄やツイートの内容を充実させることは基本として、
クリニック側でその地域の方、対象となる属性の方などを積極的にフォローし、
いいねやRTを自分から積極的に行ったり、
会話にからんでいったりすると、ぐぐっとフォロワーが増えます。

また既存患者さんへの情報提供として患者さんにフォローしてもらうには、Twitterはあまり相性が良くないですね…。

その用途で使うのであれば、ホームページにウィジェットを埋め込んで、Twitterを使っていない方に見てもらう更新ツールと割り切ったほうがよいかもしれません。