ご相談、ありがとうございます。
予約フォームは、患者さんにとっても受付さんにとっても、喜ばれるシステムだと思います。
また、限定的なものなので、私も有料のものはもったいないと思います。

私のおすすめは、無料の予約システムを使うことです。

・日付・時間を選択できる
・予約メールが相手に届く
・枠がいっぱいになったら予約ができなくなる
・前日にリマインドメールが送られる（確かできるハズ）

無料ですが、上記すべてに対応しています。

■リクルートのエアリザーブ（事前予約）
https://airregi.jp/reserve/type/index.html?type=type01
■レゼルバ
https://reserva.be/
▼参考
https://lp.reserva.be/reservation/clinic/psychosomaticmedicine/

どちらも使い勝手は悪くないので、先生が印象のよい方を選んでいただいて良いと思います。
お手間でしたら、有料になりますが設定代行もしますので、お気軽にお申し付けください。